Méthode de Newton

Calculatrice graphique pour la méthode de Newton

Le diagramme montre le nombre choisi d'étapes d'itération à partir de la valeur de départ en lignes linéaires. Les lignes en pointillés indiquent la valeur de départ de l'étape d'itération suivante. Vous pouvez grapiller le point de départ dans le diagramme et vous déplacer le long de la fonction.

⃢

↹#.000

🔍↔

🔍↕

Nombre d'itérations=

Valeur de départ x₀=

Fonction f(x):

Tangent line:

Gammes des axes

x-min=

x-max=

y-min=

y-max=

Valeur des paramètres

a=

b=

c=

Plages de paramètres

a-min=

b-min=

c-min=

a-max=

b-max=

c-max=

f(x)=

cl

ok

Pos1

End

7

8

9

/

x

4

5

6

*

a

b

c

1

2

3

-

π

(

)

0

.

+

sin

cos

tan

e^x

ln

x^a

a/x

^

asin

acos

atan

x²

√x

a^x

a/(x+b)

|x|

sinh

cosh

^a⋅x+c / _b⋅x+c

^a+x / _b+x

^x²-a²/ _x²+b²

^a / _x+b

^1+√x / _1-√y

e^xsin(x)cos(x)

√x+a

√e^a⋅x

a⋅x²+b⋅x+c

\sin (π x + \frac{π}{4})

\cos (π x + \frac{π}{4})

\tan (π x + \frac{π}{4})

\sin^{2} (π x + \frac{π}{4})

\cos^{2} (π x + \frac{π}{4})

\tan^{2} (π x + \frac{π}{4})

\frac{1}{\sin (x)}

\frac{1}{\cos (x)}

\frac{1}{\tan (x)}

\frac{\sin (x)}{\cos (π \cdot x)}

\sin (\cos (x))

e^{x} \sin (x) \cos (x)

Fonction	Description
sin(x)	Sinus de x
cos(x)	Cosinus de x
tan(x)	Tangente de x
asin(x)	arcsine
acos(x)	arccosine de x
atan(x)	arctangent de x
atan2(y, x)	Renvoie l'arctangente du quotient de ses arguments.
cosh(x)	Cosinus hyperbolique de x
sinh(x)	Sinus hyperbolique de x
pow(a, b)	Puissance a^b
sqrt(x)	Racine carrée de x
exp(x)	e-fonction
log(x), ln(x)	Logarithme naturel
log(x, b)	Logarithme en base b
log2(x), lb(x)	Logarithme en base 2
log10(x), ld(x)	Logarithme en base 10

plus ...

Notation : La fonction doit être saisie dans la notation de la syntaxe Javascript.

Paramètre : Trois constantes a, b et c sont disponibles, qui peuvent être modifiées à l'aide des curseurs. Le point de départ est représenté par la croix noire dans le diagramme et peut être déplacé.

Itérations calculées avec la méthode de Newton

Description de la méthode de Newton

La méthode de Newton, également connue sous le nom de méthode Newton-Raphson, est une méthode itérative permettant de déterminer les zéros de fonctions. Elle a été développée par Sir Isaac Newton au XVIIe siècle et repose sur l'idée qu'une fonction proche d'un zéro peut être approximée par sa tangente. La méthode de Newton utilise l'idée d'itération, ce qui signifie qu'elle passe par plusieurs étapes pour trouver une approximation du zéro. Le processus consiste à choisir une estimation initiale pour le point zéro (x0), puis à utiliser l'équation de la tangente de la fonction à ce point pour trouver une nouvelle estimation (x1). Ce processus se répète jusqu'à ce que la précision souhaitée soit atteinte.

Les étapes de la méthode de Newton sont les suivantes:

Choisissez une estimation initiale x0.
Calculez la dérivée première f'(x) de la fonction f(x) au point x0.
Calculer la nouvelle estimation x1 avec la formule x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

Répétez les étapes jusqu'à ce que la précision souhaitée soit atteinte.

La méthode de Newton peut converger très rapidement vers la solution des zéros de fonctions, mais elle présente certaines limites. Elle n'est pas toujours garantie de converger vers la solution et elle nécessite la connaissance de la dérivée première de la fonction. Elle ne convient pas non plus à toutes les fonctions et peut conduire à des résultats indésirables si l'estimation initiale n'est pas bien choisie.

Le but de la méthode de Newton est de trouver un zéro d'une fonction généralement non linéaire. C'est-à-dire de trouver une solution de l'équation

$f (x) = 0$

Pour ce faire, on linéarise la fonction en une position x₀ en remplaçant la fonction par sa tangente. Ainsi, par une équation de droite qui passe par le point (x₀), la pente f'(x₀).

La forme générale de l'équation de la ligne droite est la suivante

$y = a x + b$

Conditions

$f (x_{0}) = f' (x_{0}) x_{0} + b$

Dissolution après b

$b = f (x_{0}) - f' (x_{0}) x_{0}$

Ainsi, l'équation de la ligne droite est complètement déterminée

$y = f' (x_{0}) x + f (x_{0}) - f' (x_{0}) x_{0} = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})$

Le point zéro souhaité de f est maintenant remplacé par le point zéro de l'équation de la ligne droite en première approximation.

$0 = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})$

La résolution en x donne la première approximation pour le point zéro.

$x = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})}$

L'itération consiste à utiliser cette approximation comme point de départ pour l'approximation suivante. Le processus d'itération est alors le suivant :

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}$

avec une valeur de départ quelconque x₀. Contre qui et si la méthode de Newton converge dépend de manière sensible du choix de la valeur de départ.

Exemple pour la méthode de Newton

L'exemple montre les étapes d'itération de la méthode de Newton pour trouver numériquement la racine d'une fonction quadratique.

L'exemple de fonction est le suivant :

$f (x) = x^{2} - x$

Le produit dérivé est :

$f' (x) = 2 x - 1$

Nous l'utilisons comme valeur de départ :

$x_{0} = 3.5$

La première étape de l'itération est :

$x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})} = 3.5 - \frac{8.75}{6.5} = 2.04167$

La valeur de la fonction au premier pas d'itération est :

$f (x_{1}) = 2.12674$

$f' (x_{1}) = 3.08334$

Donc la deuxième étape de l'itération est :

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})} = 2.04167 - \frac{2.12674}{3.08334} = 1.35192$

Et ainsi de suite pour les étapes suivantes de l'itération.

Capture d'écran